１－６で求めた分布は離散分布であるから、変数の値が
の時しか意味を持たない。定額の場合と同様に、この分布を連続分布に変換することを考える。定額の場合と同様に、株価の上昇した期間数を 
とすると、 は二項分布する ので、その二項分布を正規分布で近似し、さらにその定義域を変数変換す ればよい 。
定率の離散分布は二項分布の確率変数 
を、上昇回数が 回だった場合の株価
に代えた分布である。
試行回数
, 確率 
の二項分布 
は、平均 
, 分散 
の正規分布 
で近似できる。この性質を使って を変数変換する。
確率変数の変数変換においては、一般に次の性質が成り立つ（再掲）。
確率変数
の密度関数を
とするとき、
である確率変数
の密度関数は、
である。（ただし
は
の
逆関数）
１－２節でみたように、
を 平均 
分散 
の 正規分布とすると、 二項分布を近似する正規分布 
の確率密度関数は、
![𝑓(𝑋)=\genfrac{}{}{}{0}{1}{\sqrt{2\pi𝑛𝑝𝑞}}\exp\left[−\genfrac{}{}{}{0}{(𝑋−𝑛𝑝)^2}{2𝑛𝑝𝑞}\right]](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%F0%9D%91%93%28%F0%9D%91%8B%29%3D%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%F0%9D%91%9B%F0%9D%91%9D%F0%9D%91%9E%7D%7D%5Cexp%5Cleft%5B%E2%88%92%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%28%F0%9D%91%8B%E2%88%92%F0%9D%91%9B%F0%9D%91%9D%29%5E2%7D%7B2%F0%9D%91%9B%F0%9D%91%9D%F0%9D%91%9E%7D%5Cright%5D)
である。この 変数 を
である で変数変換する。 
について解けば、
であり*1、 Y で 微分すると
となるから、 の確率密度関数は
![𝑌=𝑓(𝑔^{−1}(𝑌))=\genfrac{}{}{}{0}{𝑑}{𝑑𝑌}𝑔^{−1}(𝑌)=\genfrac{}{}{}{0}{1}{\sqrt{2\pi𝑛𝑝𝑞}𝑌(\log𝑢−\log𝑑)}\exp\left[−\genfrac{}{}{}{0}{\left(\genfrac{}{}{}{0}{\log𝑌−\log𝑆_0−𝑛\log𝑑}{\log𝑢−\log𝑑}−𝑛𝑝\right)^2}{2𝑛𝑝𝑞}\right]](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%F0%9D%91%8C%3D%F0%9D%91%93%28%F0%9D%91%94%5E%7B%E2%88%921%7D%28%F0%9D%91%8C%29%29%3D%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%F0%9D%91%91%7D%7B%F0%9D%91%91%F0%9D%91%8C%7D%F0%9D%91%94%5E%7B%E2%88%921%7D%28%F0%9D%91%8C%29%3D%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%F0%9D%91%9B%F0%9D%91%9D%F0%9D%91%9E%7D%F0%9D%91%8C%28%5Clog%F0%9D%91%A2%E2%88%92%5Clog%F0%9D%91%91%29%7D%5Cexp%5Cleft%5B%E2%88%92%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cleft%28%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Clog%F0%9D%91%8C%E2%88%92%5Clog%F0%9D%91%86_0%E2%88%92%F0%9D%91%9B%5Clog%F0%9D%91%91%7D%7B%5Clog%F0%9D%91%A2%E2%88%92%5Clog%F0%9D%91%91%7D%E2%88%92%F0%9D%91%9B%F0%9D%91%9D%5Cright%29%5E2%7D%7B2%F0%9D%91%9B%F0%9D%91%9D%F0%9D%91%9E%7D%5Cright%5D)
変形すると、
![=\genfrac{}{}{}{0}{1}{\sqrt{2\pi𝑛𝑝𝑞}𝑌\log\frac{u}{d}}\exp\left[−\genfrac{}{}{}{0}{\left(\genfrac{}{}{}{0}{\log𝑌−\log𝑆_0−𝑛\log𝑑-np\log u+np\log d}{\log\frac{u}{d}}\right)^2}{2𝑛𝑝𝑞}\right]](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%3D%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%F0%9D%91%9B%F0%9D%91%9D%F0%9D%91%9E%7D%F0%9D%91%8C%5Clog%5Cfrac%7Bu%7D%7Bd%7D%7D%5Cexp%5Cleft%5B%E2%88%92%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cleft%28%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Clog%F0%9D%91%8C%E2%88%92%5Clog%F0%9D%91%86_0%E2%88%92%F0%9D%91%9B%5Clog%F0%9D%91%91-np%5Clog%20u%2Bnp%5Clog%20d%7D%7B%5Clog%5Cfrac%7Bu%7D%7Bd%7D%7D%5Cright%29%5E2%7D%7B2%F0%9D%91%9B%F0%9D%91%9D%F0%9D%91%9E%7D%5Cright%5D)
![=\genfrac{}{}{}{0}{1}{\sqrt{2\pi𝑛𝑝𝑞}𝑌\log\frac{u}{d}}\exp\left[−\genfrac{}{}{}{0}{\left\{\log𝑌−\log𝑆_0−𝑛p\log u-n(1-p)\log d\right\}^2}{2𝑛𝑝𝑞\left(\log\frac{u}{d}\right)^2}\right]](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%3D%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%F0%9D%91%9B%F0%9D%91%9D%F0%9D%91%9E%7D%F0%9D%91%8C%5Clog%5Cfrac%7Bu%7D%7Bd%7D%7D%5Cexp%5Cleft%5B%E2%88%92%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cleft%5C%7B%5Clog%F0%9D%91%8C%E2%88%92%5Clog%F0%9D%91%86_0%E2%88%92%F0%9D%91%9Bp%5Clog%20u-n%281-p%29%5Clog%20d%5Cright%5C%7D%5E2%7D%7B2%F0%9D%91%9B%F0%9D%91%9D%F0%9D%91%9E%5Cleft%28%5Clog%5Cfrac%7Bu%7D%7Bd%7D%5Cright%29%5E2%7D%5Cright%5D)
![=\genfrac{}{}{}{0}{1}{\sqrt{2\pi𝑛𝑝𝑞}𝑌\log\frac{u}{d}}\exp\left[−\genfrac{}{}{}{0}{\left\{\log𝑌−\log𝑆_0−𝑛\log(u^pd^q)\right\}^2}{2𝑛𝑝𝑞\left(\log\frac{u}{d}\right)^2}\right]](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%3D%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%F0%9D%91%9B%F0%9D%91%9D%F0%9D%91%9E%7D%F0%9D%91%8C%5Clog%5Cfrac%7Bu%7D%7Bd%7D%7D%5Cexp%5Cleft%5B%E2%88%92%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cleft%5C%7B%5Clog%F0%9D%91%8C%E2%88%92%5Clog%F0%9D%91%86_0%E2%88%92%F0%9D%91%9B%5Clog%28u%5Epd%5Eq%29%5Cright%5C%7D%5E2%7D%7B2%F0%9D%91%9B%F0%9D%91%9D%F0%9D%91%9E%5Cleft%28%5Clog%5Cfrac%7Bu%7D%7Bd%7D%5Cright%29%5E2%7D%5Cright%5D)
これが、求める（連続）確率分布の式である。実はこれは 、 対数正規分布
の式に他ならない。
－目次へ－
