2-1.対数期待値の最大化
最初の資産が、 1 期間後に 倍、( のこともある)になるような投資があったとする。
は毎回異なるが、 がとりうる値とそれが起きる確率は決まっているとする。は「ある確率で元金が *倍になる」という性質のものなら何でもいい。たとえば1/2の確率で資金が2倍になり、 1/2 の確率で半分になる等。この場合は 2 か 1/2 かどちらかである。
より一般的に言えば、全部でとおりの結果があり、
「確率で資金が倍、 で 倍、で 倍になる、ただし で」
ということがわかっている投資である。この場合、ある1 回の投資で起きる は各のいずれかの値をとることになる。 は各回で起きる(あるいは実際に起きた)値、 は がとりうる値、である。
この投資を何期間も繰り返した時に、成長率を最大にする方法を考える。
回目の を とする。 投資を繰り返すとき、 期間後から 期間後までの資産の変化は
だから、この投資を回行うとすると、 期間後の資産 は資産の初期値 に各 をすべて掛けたものになる。すなわち、
である。は の順番にはよらない。
期間後の資産が当初の何倍になったか、すなわち を「成長率」と呼ぶことにすると、成長率は、
である。
を最大化する方法を考える。各 は正なので両辺を 乗し
ても大小関係は変わらない。
この式の右辺はの相乗平均である。つまり成長率 を最大化するには の相乗平均を最大化すればよいことがわかる。
さらに両辺の対数をとると(対数関数は単調増加なので対数をとっても大小関係は変わらない )、
変形して、
上式の右辺は の相加平均(期待値)を表している。つまり成長率の最大化には、「𝑅の対数」の期待値を最大化すればよい。
は「確率 で賭け金が 倍、 で 倍、で 倍(ただし )」という条件に従うと仮定したので、各 は のいずれかの値をとるが、投資の回数 を十分大きくすると、値 をとる が 個、値 をとるものが 個、 となるはずである(統計学の「大数の法則」)。したがって が十分大きいとき、 の総計「 」は「」と等しくなるはずである。これを上
式に代入すると、
となり、結局、成長率を最大化するには、 の対数の期待値を最大化すればよいことがわかる。