全資産の定率を毎回賭ける投資を繰り返すとき、当初1000 円の資金の 25% を毎回投資することを繰り返すのと、 50% を毎回投資するのでは、 50% の方が変動が激しくなるのは当然である。では、当初 1000 円の資金の 25% を毎回投資するのと、当初 500 円の資金の 50% を毎回投資するのでは損益はどう変わるだろうか。
初期の全資産は 1000 円と 500 円で異なるが、 どちらも 1 回目の投資額は 250 円 で あ る。1 回目の投資額を (=250）と 先に 決め、 全資産の
を毎回賭け ると決めると 、初期の全資産は
にな る （下図参照） 。
当初仮想的に の全資産があると仮定し、そのうち最初に
（=250） 円分の株を持っていて 、株価が上下したときに、 その時の （仮想全資産の比率
を株が占めるように売買を続けた場合の全資産額の分布を、
を基準に考える、ということを行うとどうなるか。 もちろんこの方法では負け続けた場合には当初の株資産
にさらに追加で資金を投入して株を買い増さなければならないケースも出てくるが、資金は 十分にある とする。
この分布は、３－２ 節 ですでに求めた対数正規 分布で初期値を から
に変更したものになるから、
となる。
、
、
の場合に、
でのこの確率分布（対数正規分布）をグラフに描くと下記のようになる。
縦軸は確率で、横軸はからのずれである。 （各分布は横軸
の位置の周りに広がるので、比較のために全体を
だけ左にずらして表示している。） 縦軸よりも右側の領域では得をしていて、左側だと損をしている。
のグラフはスケールが異なるだけで３－４節の
のグラフと同じである。この考え方で投資すると、
の値が変わっても 分布の広がりは－１から１程度で あまり 変わらない。
のときの標準偏差は それぞれ
である。 分布の形は、
が小さいほど歪みが小さくなり、左右対称に近づいていく。さらに
が小さいほど分布の頂点（最頻値）は右に移動する。これを見ると、 分散はどれも大きくは違わないので、分布全体をなるべく右側に寄せるように、
をなるべく小さくしたほうが 好ましい ように見える。実際、上記の対数正規分布の
に対する平均、中央値、最頻値の変化は下記のようになる。横軸は
の値、縦軸は平均、中央、最頻値である。
グラフ見ると、が小さくなるにつれて中央値と最頻値はだんだん大きくなっている。平均は
が小さくなると小さくなるが、下がり方はわずかである。さらに、三つの値は
が 0に近づくにつれて 1 つの値 （0.05 くらい）に収束していくように見える。却って確率分布のグラフをみると、
が小さくなるにつれて分布は左右対称になり、普通の正規分布の形に近づいているように見える。正規分布なら、平均、中央値、最頻値は同じ値になる。
全資産を と仮定し、資産の 割合
を常に賭け ることを繰り返した時の分布は、
で正規分布になるのではないだろうか。
資産の定率を賭けるということは、株が上がった場合には資産が
倍 、下がった場合には
倍になるということ で 、その比は
が 1 に近い場合は 1 に近づく。 そして、仮想的な全資産
は 𝑥を 0 に近づ ける と 非常に大きな値になる ため、株価が上がっても下がっても次回 の賭け金である「全資産に
を 賭け た値 」は毎回
に近い値になるはずである。
を 0 に近づけること は、「 資金は無限にあるとして、初期に
円分の株を買い、その後下がったら下がっただけ買い足し、上がったら上がっただけ売って、常に株の資産を
円に保つように売買する」ことを意味する のではないか 。そう仮定して、この分布を求めてみる。
