株価の二項モデルと最適投資方法

３－５、３－６章で述べた、定率賭けで毎回資産の $S_I/\alpha$ を賭けるとき、 $\alpha\to0$ の極限で損益の分布関数が”極限の正規分布”と一致することを、より正確に示す。

公式 $\displaystyle\lim_{X \to 0}\genfrac{}{}{}{0}{\log(1+X)}{X}=1$ を利用する。

株価が1期間で確率1/2で $r$ 倍か $1/r$ 倍になるとき、当初 $S_I/\alpha$ 円の全資産があり、そのうちの $S_I$ 円を最初に投資し、その後は全資産の定率 $\alpha$ を毎回賭けるときの、 $n$ 期間後の全資産の分布は、本文で述べた通り対数正規分布

$LN\left(m,s^2\right)$

$=LN\left(\log\genfrac{}{}{}{0}{S_I}{\alpha}+\genfrac{}{}{}{0}{n}{2}\log\left\{\left[1+(r-1)\alpha\right]\left[1+\left(\genfrac{}{}{}{0}{1}{r}-1\right)\alpha\right]\right\} , \genfrac{}{}{}{0}{n}{4}\left(\log\genfrac{}{}{}{0}{1+(r-1)\alpha}{1+\left(\genfrac{}{}{}{0}{1}{r}-1\right)\alpha}\right)^2\right)$

となる。その確率密度関数は

$\genfrac{}{}{}{0}{1}{\sqrt{2\pi}sx}\exp\left[-\genfrac{}{}{}{0}{(\log x-m)^2}{2s^2}\right]$

であるが、初期投資からの損益を見るために分布全体を $S_I/\alpha$ だけ $x$ 軸左方向にずらした分布 $f(x)$ を考えると、

$f(x)=\genfrac{}{}{}{0}{1}{\sqrt{2\pi}s\left(x+\genfrac{}{}{}{0}{S_I}{\alpha}\right)}\exp\left[-\genfrac{}{}{}{0}{\left(\log\left(x+\genfrac{}{}{}{0}{S_I}{\alpha}\right)-m\right)^2}{2s^2}\right]$

となる。 $r-1=A$ 、 $1/r-1=B$ とおいて、 $m$ 、 $s$ の値を代入すると、

$f(x)=\genfrac{}{}{}{0}{\exp\left[-\genfrac{}{}{}{0}{\left(\log\left(x+\genfrac{}{}{}{0}{S_I}{\alpha}\right)-\log\genfrac{}{}{}{0}{S_I}{\alpha}-\genfrac{}{}{}{0}{n}{2}\log\left\{(1+A\alpha)(1+B\alpha)\right\} \right)^2}{\genfrac{}{}{}{0}{n}{2}\left(\log\genfrac{}{}{}{0}{1+A\alpha}{1+B\alpha}\right)^2}\right]}{\sqrt{\genfrac{}{}{}{0}{n\pi}{2}} \left(\log\genfrac{}{}{}{0}{1+A\alpha}{1+B\alpha} \right)\left(x+\genfrac{}{}{}{0}{S_I}{\alpha}\right)}$

公式を利用できるように変形すると、

$f(x)=\genfrac{}{}{}{0}{\exp\left[-\genfrac{}{}{}{0}{\left(\log\left(\genfrac{}{}{}{0}{\alpha x}{S_I}+1\right)-\genfrac{}{}{}{0}{n\alpha}{2}\left\{\genfrac{}{}{}{0}{\log(1+A\alpha)}{A\alpha}A+\genfrac{}{}{}{0}{\log(1+B\alpha)}{B\alpha}B \right\}\right)^2}{\genfrac{}{}{}{0}{n}{2}\left(\genfrac{}{}{}{0}{\log(1+A\alpha)}{A\alpha}A-\genfrac{}{}{}{0}{\log(1+B\alpha)}{B\alpha}B\right)^2\alpha^2}\right]}{\sqrt{\genfrac{}{}{}{0}{n\pi}{2}} \left(\genfrac{}{}{}{0}{\log(1+A\alpha)}{A\alpha}A-\genfrac{}{}{}{0}{\log(1+B\alpha)}{B\alpha}B\right)\left(x\alpha+S_I\right)}$

$=\genfrac{}{}{}{0}{\exp\left[-\genfrac{}{}{}{0}{\left(\left\{\genfrac{}{}{}{0}{\log\left(\genfrac{}{}{}{0}{\alpha x}{S_I}+1\right)}{\genfrac{}{}{}{0}{\alpha x}{S_I}}\genfrac{}{}{}{0}{\alpha x}{S_I}\right\}-\genfrac{}{}{}{0}{n\alpha}{2}\left\{\genfrac{}{}{}{0}{\log(1+A\alpha)}{A\alpha}A+\genfrac{}{}{}{0}{\log(1+B\alpha)}{B\alpha}B \right\}\right)^2}{\genfrac{}{}{}{0}{n}{2}\left(\genfrac{}{}{}{0}{\log(1+A\alpha)}{A\alpha}A-\genfrac{}{}{}{0}{\log(1+B\alpha)}{B\alpha}B\right)^2\alpha^2}\right]}{\sqrt{\genfrac{}{}{}{0}{n\pi}{2}} \left(\genfrac{}{}{}{0}{\log(1+A\alpha)}{A\alpha}A-\genfrac{}{}{}{0}{\log(1+B\alpha)}{B\alpha}B\right)\left(x\alpha+S_I\right)}$

expのなかの $\alpha$ を約分して、

$=\genfrac{}{}{}{0}{\exp\left[-\genfrac{}{}{}{0}{\left(\left\{\genfrac{}{}{}{0}{\log\left(\genfrac{}{}{}{0}{\alpha x}{S_I}+1\right)}{\genfrac{}{}{}{0}{\alpha x}{S_I}}\genfrac{}{}{}{0}{x}{S_I}\right\}-\genfrac{}{}{}{0}{n}{2}\left\{\genfrac{}{}{}{0}{\log(1+A\alpha)}{A\alpha}A+\genfrac{}{}{}{0}{\log(1+B\alpha)}{B\alpha}B \right\}\right)^2}{\genfrac{}{}{}{0}{n}{2}\left(\genfrac{}{}{}{0}{\log(1+A\alpha)}{A\alpha}A-\genfrac{}{}{}{0}{\log(1+B\alpha)}{B\alpha}B\right)^2}\right]}{\sqrt{\genfrac{}{}{}{0}{n\pi}{2}} \left(\genfrac{}{}{}{0}{\log(1+A\alpha)}{A\alpha}A-\genfrac{}{}{}{0}{\log(1+B\alpha)}{B\alpha}B\right)\left(x\alpha+S_I\right)}$

$\alpha\to0$ の極限をとると、

$\displaystyle\lim_{\alpha\to 0}f(x)=\genfrac{}{}{}{0}{\exp\left[-\genfrac{}{}{}{0}{\left(x-\genfrac{}{}{}{0}{n}{2}(A+B)S_I\right)^2}{\genfrac{}{}{}{0}{n}{2}(A-B)^2S_I^2} \right]}{\sqrt{\genfrac{}{}{}{0}{n\pi}{2}}(A-B)S_I}$

$A$ 、 $B$ を元に戻して、

$\displaystyle\lim_{\alpha\to 0}f(x)=\genfrac{}{}{}{0}{1}{\sqrt{\genfrac{}{}{}{0}{n\pi}{2}}\left(r-\genfrac{}{}{}{0}{1}{r}\right)S_I}\exp\left[-\genfrac{}{}{}{0}{\left\{x-\genfrac{}{}{}{0}{n}{2}\left(r+\genfrac{}{}{}{0}{1}{r}-2\right)S_I\right\}^2}{\genfrac{}{}{}{0}{n}{2}\left(r-\genfrac{}{}{}{0}{1}{r}\right)^2S_I^2} \right]$

となり、これは”極限の正規分布"を $S_I$ だけ左にずらした正規分布（=損益の分布）

$N\left(\genfrac{}{}{}{0}{nS_I}{2}\left(r+\genfrac{}{}{}{0}{1}{r}-2\right), \genfrac{}{}{}{0}{nS_I^2}{4}\left(r-\genfrac{}{}{}{0}{1}{r}\right)^2\right)$

と一致する。

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