バリュー平均法の確率分布の導出 - 株価の二項モデルと最適投資方法

1期間で $r$ 倍か $1/r$ 倍になる株を最初 $S$ 円分持っていて、毎期の終わりに株価が上がった場合は上がった分だけ売却し、下がった場合は株を買い増して、次の期間の初めには株資産が常に $S$ になるように売買を繰り返した時の、 $𝑛$ 期間経過後の資産の分布は、３－６章で述べた通り、正規分布

$N\left(S\left[1+\genfrac{}{}{}{0}{n}{2}\left(r+\genfrac{}{}{}{0}{1}{r}-2\right)\right],\genfrac{}{}{}{0}{nS^2}{4}\left(r-\genfrac{}{}{}{0}{1}{r}\right)^2\right)$

となる。これが $n=1$ でも成り立っているとする。すなわち「初期値 $S$ の資産が１期間で $𝑟$ 倍か $1/𝑟$ 倍になった後、上がったら上がった分を売却して現金化し、下がったら下がった分を買い足して資産を $S$ にする」、という操作を行った結果の合計資産を、正規分布

$N\left(S\left[1+\genfrac{}{}{}{0}{1}{2}\left(r+\genfrac{}{}{}{0}{1}{r}-2\right)\right],\genfrac{}{}{}{0}{S^2}{4}\left(r-\genfrac{}{}{}{0}{1}{r}\right)^2\right)$

にしたがうと考える。すると「初期値 $S$ からの損益」の分布は、この分布の平均をだけ左にずらした正規分布

$N\left(\genfrac{}{}{}{0}{S}{2}\left(r+\genfrac{}{}{}{0}{1}{r}-2\right),\genfrac{}{}{}{0}{S^2}{4}\left(r-\genfrac{}{}{}{0}{1}{r}\right)^2\right)$

となる。この正規分布を見やすくするため、

$N\left(SA,S^2 B^2\right)$

と書く。

以下、バリュー平均法で1期間に増やす資産額を $S$ として、時間の経過に沿って資産の動きを考える。

第１期の損益は、今見た通り、正規分布

$N\left(SA,S^2 B^2\right)$

にしたがって広がった値のうちの１つの実現値となる。

第２期目の始めには、バリュー平均法の操作によって、株資産は $2S$ になっている。

第２期の終りに、この、初期値 $2S$ の資産から得られる損益は、同様に考えて、

$N\left(2SA,4S^2 B^2\right)$

なので、第２期終了時点での総損益は、第１期分と合わせて、

$N\left(SA,S^2 B^2\right)$ + $N\left(2SA,4S^2 B^2\right)$

となる（２つの、正規分布にしたがって広がった値の和、という意味）。

第３期目の始めには、バリュー平均法の操作によって、株資産は $3S$ になっている。

これを繰り返すと、第 $n$ 期終了時には損益の累計は

$N\left(SA,S^2B^2\right)+N\left(2SA,4S^2B^2\right)+N\left(3SA,9S^2B^2\right)+\dotsm+N\left(nSA,n^2S^2B^2\right)$

となるが、各期の結果は独立だから、正規分布の再生性

$N(\mu_1,\sigma_1^2)+N(\mu_2,\sigma_2^2)=N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$

から、

$\displaystyle =N\left(SA\sum_{k=1}^{n}k, S^2B^2\sum_{k=1}^{n}k^2\right)$

となる。 $A$ 、 $B$ を元に戻して、シグマの公式を適用すると、

$=N\left(S\left(r+\genfrac{}{}{}{0}{1}{r}-2\right)\genfrac{}{}{}{0}{n(n+1)}{4}, S^2\left(r-\genfrac{}{}{}{0}{1}{r}\right)^2\genfrac{}{}{}{0}{n(n+1)(2n+1)}{24}\right)$

となる。これがバリュー平均法の損益の確率分布である。

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