対数正規分布
ここで、対数正規分布について説明する。
通常の正規分布は定義域が(−∞,∞)であ り、 平均値の 周りに対称な 性質を持つ多くの自然現象が正規分布に従う。
対数正規分布は、イメージとしては 正規分布の独立変数 を
（指数関数） に 変数変換した分布で、
の肩に正規分布を載せたような分布である。対数正規分布の横軸の対数をとれば正規分布になる。株価のように値が 0 より小さくなることはなく、逆にプラ ス方向の最大値は限定されないような現象は、対数正規分布に従うこと が多い。
対数正規分布の定義域 は である。
が
に近づくと
は 0 に近づく。 確率分布なので、 0 から
まで 積分すれば 1 になる。
平均、分散
の正規分布
の確率密度関数 の式 は、
であるが、この軸を
に変数変換した対数正規分布の 確率密度関数は、
であり、
これを と書く。
は Log Normal distribution の意味である。注意すべき なのは、 この書き方をした時の
は対数正規分布自体の平均、分散ではなく、「 元の正規分布の 」平均、分散である。 この式と比較すれば、「 𝑢倍か 𝑑倍の確率分布を連続化した分布」は対数正規分布であることがわかる。
対数正規分布の確率密度関数は、これまでに見た変数変換の公式に従って正規分布の独立変数 を
に変数変換したものになっている。
なので 、
となり、分数の分母にある がこれにあたる。
下は、標準正規分布（破線）と、それを基にした対数正規分布
（実線）を 1つの グラフに書いたものである。
標準正規分布はの値 が 0 のとき最大値をとる。正規分布の横軸 0 は対数正規分布では
に相当するが、対数正規分布はここでは最大値を取ら ず、ピークは 1 よりも 負方向にずれる。 これは正規分布の横軸の
から 0 までの部分が、対数正規では 0 から 1 までの間に「濃縮」されることによる効果である。標準正規分布の関数値は横軸負の部分では単調減少であるが、対数正規に変換する際、
に近づくほど横軸方向の「密度」が高まるので、結果として 、 対数正規分布のピークを与える
の値は 、 元になる正規分布の最頻値 0 を
した値 （1）よりも 小さくなる。
元の正規分布の 平均、分散を としたときの対数正規分布
の 主な代表値と分散は下記のようになる ことが知られている 。
- 平 均：
- 中央値：
- 最頻値：
- 分 散：
平均（期待値）は、確率分布の重心である。 のグラフの形に板を切り出したとすると、横軸の値が
のところ、標準正規分布の対数正規分布であれば
の点で板を支えれば 左右が釣り合う。対数正規分布の平均は最頻値や中央値よりも 大きな値となる。これは、元の正規分布の左半分の部分が対数正規分布では 0 から中央値
までの範囲に「濃縮」されるのに加え、右半分の部分が横軸の
の変換に伴って
から遠いところに置かれるため、「てこの原理」で平均値を押し上げるためである。 対数正規分布では 、平均よりも損をする確率 が 、得をする確率よりも 大きい 。ただ、得をする場合は大儲けをする 可能性が高いのである。
中央値は、グラフの面積を二等分する値である。 中央値よりも右側の 確率 が 50% 、左側が50% になる。 勝率を五分五分にする値である。対数正規分布では、元の正規分布の平均値 を変数変換した
（標準正規 分布では
） が中央値になる。
最頻値はグラフの値（確率）を最大にする横軸の値である 。1 回 1 回の各試行では、結果が最頻値の近辺 になる確率が最も高い。すでに説明したとお り 、対数正規分布では 最頻値は よりも小さな値になる。
