２－２定率を賭ける（ケリー基準） - 株価の二項モデルと最適投資方法

実は、賭け（2）が期待値で（1）を上回るにもかかわらず成長率が負になってしまうのは、「資産の全額を繰り返し賭ける」という点が原因になっている。

より効率の良い方法の一つとして、資産の全額ではなく、毎回資産の一定比率を賭けることを考える。

全資産 $𝑋$ のうち比率 $𝑥 (0\lt 𝑥\leq 1)$ を掛けた金額を毎回賭けるとすると、

「賭け金が確率 $𝑝_𝑘$ で $𝑟_𝑘$ 倍になる」

という賭けは、資産全体から見れば

「 $𝑋$ から賭け金 $𝑥𝑋$ が引かれ、賞金 $𝑥𝑋𝑟_𝑘$ が加わることが確率 $𝑝_𝑘$ で起きる」

ということだから、

「確率 $𝑝_𝑘$ で資産が $𝑋−𝑥𝑋+𝑥𝑋𝑟_𝑘$ になる」すなわち
「確率 $𝑝_𝑘$ で資産が $𝑋\{1+(𝑟_𝑘−1)𝑥\}$ になる」すなわち
「確率 $𝑝_𝑘$ で資産が $\{1+(𝑟_𝑘−1)𝑥\}$ 倍になる」

ということである。よってこの場合成長率を最大化する問題は、 $𝑥$ を変化させたとき $\{1+(𝑟_𝑘−1)𝑥\}$ の対数期待値を最大化する問題と考えることができる。

$𝑥$ の関数としての $\{1+(𝑟_𝑘−1)𝑥\}$ の対数期待値を $𝑀(𝑥)$ とすると、

$𝑀(𝑥)=𝑝_1\log\{1+(𝑟_1−1)𝑥\}+𝑝_2\log\{1+(𝑟_2−1)𝑥\}+⋯+𝑝_𝑚\log\{1+(𝑟_𝑚−1)𝑥\}$

なので、 $𝑀(𝑥)$ の一般項の一階微分は

$\genfrac{}{}{}{0}{𝑑}{𝑑𝑥}[𝑝_𝑘\log\{1+(𝑟_𝑘−1)𝑥\}]=\genfrac{}{}{}{0}{𝑝_𝑘}{𝑥+\genfrac{}{}{}{0}{1}{(𝑟𝑘−1)}}$

二階微分は

$\genfrac{}{}{}{0}{𝑑^2}{𝑑𝑥^2}[𝑝_𝑘\log\{1+(𝑟_𝑘−1)𝑥\}]=−\genfrac{}{}{}{0}{𝑝_𝑘}{\left\{𝑥+\genfrac{}{}{}{0}{1}{(𝑟_𝑘−1)}\right\}^2}$

となる。 $𝑀$ の二階微分は分母分子が正で全体にマイナスがついているので、各項が必ず負になる。よって $𝑀(𝑥)$ のグラフは上に凸である。

したがって、 $𝑀(𝑥)$ の一階微分をゼロと置いた方程式

$\displaystyle \genfrac{}{}{}{0}{𝑑𝑀}{𝑑𝑥}=\sum_{k=1}^{m}\genfrac{}{}{}{0}{𝑝_𝑘}{𝑥+\genfrac{}{}{}{0}{1}{𝑟_𝑘−1}}=0$

を解けば、 $𝑀(𝑥)$ を最大化する $𝑥$ を求めることができる。この $𝑥$ は「ケリー基準」とか「ケリールール」と呼ばれるものである*1。この式は $𝑥$ についての $(𝑚−1)$ 次方程式になるので、高次の場合はには解析的には解けず、数値計算して解を求めることになる。

上の例で $𝑚=2, 𝑟_1=1+𝐵, 𝑟_2=0, 𝑝_1=𝑃, 𝑝_2=1−𝑃$ とおくと、「確率 $𝑃$ で賭け金が $1+𝐵$ 倍になり、負ければ掛け金をすべて失う」という賭けになり、このとき $\frac{𝑑𝑀}{𝑑𝑥}=0$ の解を $𝑓$ とすると、

$𝑓=\genfrac{}{}{}{0}{𝑃(𝐵+1)−1}{𝐵}$

となる。ケリー基準はこの式で知られている。