対数期待値最大化の例
具体的な例を考える。
確率0.6 で賭け金が 1.1 倍になり、確率 0.4 で賭け金が 0. 9 倍になる賭け（1） と
確率0.6 で賭け金が 1.5 倍になり、確率 0.4 で賭け金が半分になる賭け（2）
があったとする。所持金全額を何度も賭けることを繰り返すとき、どちらの賭けを続けるのが得か。
（1）は
（2）は
なので、賭け金1単位あたりの期待値は、
賭け（1）の期待値 : 0.6×1.1+0.4×0.9=1.02
賭け（2）の期待値 : 0.6×1.5+0.4×0.5=1.10
でどちらもプラスで、賭け（2）のほうが有利に見える。ただし資産の増減については（1）はローリスクローリターン、（2）はハイリスクハイリターンである。
一方での対数の期待値は、
賭け（1）の の対数期待値 0.6×log1.1+0.4×log0.9=0.01504
賭け（2）の の対数期待値 0.6×log1.5+0.4×log0.5=−0.03398
となり、賭け（1）のほうが成長率が高く、有利であることがわかる。賭け （2）は一度だけ賭けるときの期待値は高いが対数期待値は負になり、これは賭けを繰り返すほど資産が減っていくことを意味する。
（両値を比較する目的なので対数の底は何でもよく、この計算では自然対数を使った。賭け（2）の成長率が負になるのは底が違っても同じ。 以下の計算 も対数の底にかかわらず 結果は 同じ。）
賭け（1）の成長率は
を解いて、
となり、期待値として1 回ごとに資産は約1.5% 増えていく。一方で賭け（2）では、
となり、1 回ごとに資産は（ 1 - 0.96659=）約 3.3% 減ってしまう。
賭け（1）と（2）を 50回繰り返した際の資産総額の推移の一例をグラフにしたものが下図である。資産の初期値は 1 で、そこから乱数を使って賭け（1）（2）をシミュレートしたもので、勝ち 負けの起きる順番は（1）（2）とも同じである。賭け（1）では比較的着実に資産が増えるのに対して、賭け（2）はぶれが大きい。シミュレーションを繰り返せば結果は様々で、（2）の最終資産が（1）を上回るケースも多々あるが、典型的には下図のように、時々は（2）が上回るものの、 が大きくなるとおおむね（1）が上回る結果となる。
なお計算上は、𝑛=50の場合の成 長率は（1）が 2.1214 （2）が 0.1829 である。
