今の仮定の下で、賭け（株式投資）の成長率を最大化するのは毎回資産の1/2 を賭け続けることであることはわかった。そして、資産の成長率を最大化する 
（ケリー基準）は、その資産の確率分布の中央値を最大化するものであることはすでに述べた。
では、確率分布の平均値や最頻値を最大化する は存在しないだろうか。
まず平均値については、
の範囲で平均値 ![\exp\left[\mu+\sigma^2/2\right]](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5Cexp%5Cleft%5B%5Cmu%2B%5Csigma%5E2%2F2%5Cright%5D)
は単調増加となり、 
のとき最大となる。つまり毎回全額賭けである。繰り返し賭けを行う場合にこの方法が適切でないことはすでにみたとおりである。
最頻値を最大化する（分布のグラフで、山のピークを最も右にずらす）は存在する。 これを「確率
で
倍、確率
で
倍になる賭けに初期資産 
の割合 を繰り返し賭け続けた場合の 
期間後の資産の確率分布」
![𝐿𝑁(𝜇,𝜎^2)=𝐿𝑁\left(\log𝑆_0+𝑛\log\left\{\left[1+(𝑢−1)𝑥\right]^𝑝\left[1+(𝑑−1)𝑥\right]^𝑞\right\} , 𝑛𝑝𝑞\left(\log\genfrac{}{}{}{0}{1+(𝑢−1)𝑥}{1+(𝑑−1)𝑥}\right)^2\right)](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%F0%9D%90%BF%F0%9D%91%81%28%F0%9D%9C%87%2C%F0%9D%9C%8E%5E2%29%3D%F0%9D%90%BF%F0%9D%91%81%5Cleft%28%5Clog%F0%9D%91%86_0%2B%F0%9D%91%9B%5Clog%5Cleft%5C%7B%5Cleft%5B1%2B%28%F0%9D%91%A2%E2%88%921%29%F0%9D%91%A5%5Cright%5D%5E%F0%9D%91%9D%5Cleft%5B1%2B%28%F0%9D%91%91%E2%88%921%29%F0%9D%91%A5%5Cright%5D%5E%F0%9D%91%9E%5Cright%5C%7D%20%2C%20%F0%9D%91%9B%F0%9D%91%9D%F0%9D%91%9E%5Cleft%28%5Clog%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B1%2B%28%F0%9D%91%A2%E2%88%921%29%F0%9D%91%A5%7D%7B1%2B%28%F0%9D%91%91%E2%88%921%29%F0%9D%91%A5%7D%5Cright%29%5E2%5Cright%29)
から計算してみる。
対数正規分布の最頻値は 
で与えられるので、これを最大化するには
を最大化すればよい。 
、
とおくと、
![𝜇−𝜎^2=\log𝑆_0+𝑛\log\left[(1+𝐴𝑥)^𝑝(1+𝐵𝑥)^𝑞\right]−𝑛𝑝𝑞\left(\log\genfrac{}{}{}{0}{1+𝐴𝑥}{1+𝐵𝑥}\right)^2](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%F0%9D%9C%87%E2%88%92%F0%9D%9C%8E%5E2%3D%5Clog%F0%9D%91%86_0%2B%F0%9D%91%9B%5Clog%5Cleft%5B%281%2B%F0%9D%90%B4%F0%9D%91%A5%29%5E%F0%9D%91%9D%281%2B%F0%9D%90%B5%F0%9D%91%A5%29%5E%F0%9D%91%9E%5Cright%5D%E2%88%92%F0%9D%91%9B%F0%9D%91%9D%F0%9D%91%9E%5Cleft%28%5Clog%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B1%2B%F0%9D%90%B4%F0%9D%91%A5%7D%7B1%2B%F0%9D%90%B5%F0%9D%91%A5%7D%5Cright%29%5E2)
なので、
と
を別々に微分する。
の微分は
![\genfrac{}{}{}{0}{𝑑}{𝑑𝑥}𝜇=\genfrac{}{}{}{0}{𝑑}{𝑑𝑥}\left\{\log𝑆_0+𝑛\log\left[(1+𝐴𝑥)^𝑝(1+𝐵𝑥)^𝑞\right]\right\}](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%F0%9D%91%91%7D%7B%F0%9D%91%91%F0%9D%91%A5%7D%F0%9D%9C%87%3D%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%F0%9D%91%91%7D%7B%F0%9D%91%91%F0%9D%91%A5%7D%5Cleft%5C%7B%5Clog%F0%9D%91%86_0%2B%F0%9D%91%9B%5Clog%5Cleft%5B%281%2B%F0%9D%90%B4%F0%9D%91%A5%29%5E%F0%9D%91%9D%281%2B%F0%9D%90%B5%F0%9D%91%A5%29%5E%F0%9D%91%9E%5Cright%5D%5Cright%5C%7D)
![=\genfrac{}{}{}{0}{𝑛}{(1+𝐴𝑥)^𝑝(1+𝐵𝑥)^𝑞}\genfrac{}{}{}{0}{𝑑}{𝑑𝑥}\left[(1+𝐴𝑥)^𝑝(1+𝐵𝑥)^𝑞\right]](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%3D%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%F0%9D%91%9B%7D%7B%281%2B%F0%9D%90%B4%F0%9D%91%A5%29%5E%F0%9D%91%9D%281%2B%F0%9D%90%B5%F0%9D%91%A5%29%5E%F0%9D%91%9E%7D%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%F0%9D%91%91%7D%7B%F0%9D%91%91%F0%9D%91%A5%7D%5Cleft%5B%281%2B%F0%9D%90%B4%F0%9D%91%A5%29%5E%F0%9D%91%9D%281%2B%F0%9D%90%B5%F0%9D%91%A5%29%5E%F0%9D%91%9E%5Cright%5D)
![=\genfrac{}{}{}{0}{𝑛}{(1+𝐴𝑥)^𝑝(1+𝐵𝑥)^𝑞}\left[𝑝(1+𝐴𝑥)^{𝑝−1}𝐴(1+𝐵𝑥)^𝑞+(1+𝐴𝑥)^𝑝𝑞(1+𝐵𝑥)^{𝑞−1}𝐵\right]](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%3D%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%F0%9D%91%9B%7D%7B%281%2B%F0%9D%90%B4%F0%9D%91%A5%29%5E%F0%9D%91%9D%281%2B%F0%9D%90%B5%F0%9D%91%A5%29%5E%F0%9D%91%9E%7D%5Cleft%5B%F0%9D%91%9D%281%2B%F0%9D%90%B4%F0%9D%91%A5%29%5E%7B%F0%9D%91%9D%E2%88%921%7D%F0%9D%90%B4%281%2B%F0%9D%90%B5%F0%9D%91%A5%29%5E%F0%9D%91%9E%2B%281%2B%F0%9D%90%B4%F0%9D%91%A5%29%5E%F0%9D%91%9D%F0%9D%91%9E%281%2B%F0%9D%90%B5%F0%9D%91%A5%29%5E%7B%F0%9D%91%9E%E2%88%921%7D%F0%9D%90%B5%5Cright%5D)
だから、
![=\genfrac{}{}{}{0}{𝑛}{(1+𝐴𝑥)^𝑝(1+𝐵𝑥)^𝑞}\left[𝑝𝐴(1+𝐴𝑥)^{−𝑞}(1+𝐵𝑥)^𝑞+𝑞𝐵(1+𝐴𝑥)^𝑝(1+𝐵𝑥)^{−𝑝}𝐵\right]](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%3D%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%F0%9D%91%9B%7D%7B%281%2B%F0%9D%90%B4%F0%9D%91%A5%29%5E%F0%9D%91%9D%281%2B%F0%9D%90%B5%F0%9D%91%A5%29%5E%F0%9D%91%9E%7D%5Cleft%5B%F0%9D%91%9D%F0%9D%90%B4%281%2B%F0%9D%90%B4%F0%9D%91%A5%29%5E%7B%E2%88%92%F0%9D%91%9E%7D%281%2B%F0%9D%90%B5%F0%9D%91%A5%29%5E%F0%9D%91%9E%2B%F0%9D%91%9E%F0%9D%90%B5%281%2B%F0%9D%90%B4%F0%9D%91%A5%29%5E%F0%9D%91%9D%281%2B%F0%9D%90%B5%F0%9D%91%A5%29%5E%7B%E2%88%92%F0%9D%91%9D%7D%F0%9D%90%B5%5Cright%5D)
![=\genfrac{}{}{}{0}{𝑛}{(1+𝐴𝑥)^𝑝(1+𝐵𝑥)^𝑞}\left[𝑝𝐴\left(\genfrac{}{}{}{0}{1+𝐵𝑥}{1+𝐴𝑥}\right)^𝑞+𝑞𝐵\left(\genfrac{}{}{}{0}{1+𝐴𝑥}{1+𝐵𝑥}\right)^𝑝\right]](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%3D%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%F0%9D%91%9B%7D%7B%281%2B%F0%9D%90%B4%F0%9D%91%A5%29%5E%F0%9D%91%9D%281%2B%F0%9D%90%B5%F0%9D%91%A5%29%5E%F0%9D%91%9E%7D%5Cleft%5B%F0%9D%91%9D%F0%9D%90%B4%5Cleft%28%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B1%2B%F0%9D%90%B5%F0%9D%91%A5%7D%7B1%2B%F0%9D%90%B4%F0%9D%91%A5%7D%5Cright%29%5E%F0%9D%91%9E%2B%F0%9D%91%9E%F0%9D%90%B5%5Cleft%28%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B1%2B%F0%9D%90%B4%F0%9D%91%A5%7D%7B1%2B%F0%9D%90%B5%F0%9D%91%A5%7D%5Cright%29%5E%F0%9D%91%9D%5Cright%5D)
の微分は
したがって最頻値の微分は、
これをゼロとおくと、
分母を払い、を使って整理すると、
この方程式を満たすが最頻値を最大化する。この式はこれ以上簡単にはならないので、近似「 
が小さいとき 
」を使う。（ 
, 
は現実的な株の場合は 0 に近い値になる。）このとき方程式は、
=0](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%F0%9D%91%9D%F0%9D%90%B4%2B%F0%9D%91%9E%F0%9D%90%B5%2B%F0%9D%90%B4%F0%9D%90%B5%F0%9D%91%A5%E2%88%922%F0%9D%91%9D%F0%9D%91%9E%5Cleft%5B%5Clog%281%2B%F0%9D%90%B4%F0%9D%91%A5%29%E2%88%92%5Clog%281%2B%F0%9D%90%B5%F0%9D%91%A5%29%5Cright%5D%28%F0%9D%90%B4%E2%88%92%F0%9D%90%B5%29%3D0)
となり、解は
となる。
中央値の場合と同様に
, (ただし
)
という仮定を行うと、
だから、最頻値を与える最頻値を与える𝑥は、
となる。
が 1 に近い値であれば
は 2 に近い値になるので、最頻値を与える は、現実にはにあまり関係なく 1/6 =0.17 程度になる。分布の最頻値を最大化するには、全資産の 17%を賭け続けるのが最良である。
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