１－２．株価の分布の正規近似 - ２ - 株価の二項モデルと最適投資方法

株価の分布の正規近似

二項分布は正規分布で近似できるが、先に述べたような「1000 円の株が 1/2 の確率で 10 円下がるか 10 円上がる」株価の分布を正規分布で表すにはどうすればよいか。これを考える。

ここからは、問題を一般化して、「最初 $S_0$ 円の株価が、 1 期間で確率 $𝑝$ で $𝑢$ 円上がり、確率 $q=1−p$ で $d$ 円下がる」という場合に、 $n$ 期間後の株価 $S$ がどうなるかを考える。 $n=3$ までの株価の動きを示したのが下の図である。

$n$ 期間のうち株価が上昇した期間数（二項分布の「表が出る回数」に相当）を $i$ 回とすると、 $i$ は試行回数 $n$ 、確率 $p$ の二項分布 $B(n,p)$ に従う。二項分布は $n$ が大きいとき平均 $np$ 、分散 $npq$ の正規分布で近似できる。

$B(n,p)≈N(np,npq)$

である。

平均 $\mu$ 、分散 $\sigma^2$ の正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ の確率密度関数は、定義に従って、

$f(X)=\genfrac{}{}{}{0}{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left[-\genfrac{}{}{}{0}{\left(X-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right]$

である。 $B(n,p)$ を近似する正規分布 $N(np,npq)$ の確率密度関数は、 $\mu$ , $\sigma^2$ に平均 $np$ 、分散 $npq$ を代入して

$f(X)=\genfrac{}{}{}{0}{1}{\sqrt{2\pi npq}}\exp\left[-\genfrac{}{}{}{0}{\left(X-np\right)^2}{2npq}\right]$

である。 $X$ は正規分布の定義域だから $(−∞,∞)$ の範囲の実数である。近似の結果として、とびとびの整数値である $i$ は連続値である $X$ に変わっている。

一方、今求めようとしている株価の分布では、株価の上昇した期間数を
$i$ とし（下落は $n-i$ 回）、株価 $S$ を $i$ の関数 $S(i)$ と考えると、 $i=0,1,2,…,n$ に対して、

$S(i)=S_0+ui−d(n-i)$

$=S_0−nd+(u+d)i$

と表せる。したがって求める分布は、上記の「二項分布を近似する正規分布」の定義域 $X$ を、

$S(X)=S_0−nd+(u+d)X$

に変数変換したものと考えられる。

この分布を求めるため、次の確率分布の変数変換の公式を使う。

確率変数 $X$ の密度関数を $f(X)$ とするとき、 $Y=g(X)$ である確率変数 $Y$ の密度関数は、
$f(g^{-1}(𝑌))\genfrac{}{}{}{0}{d}{dY}g^{-1}(Y)$
である。（ただし $g^{-1}(Y)$ は $g(X)$ の逆関数）

単純に変換した変数を代入するだけであれば $f(g^{-1}(Y))$ であるが、それだけでは不十分で、 $\frac{d}{dY}g^{-1}(Y)$ を掛ける必要がある。

今、変換後の求めたい確率変数は

$(S(X)=) Y=g(X)=S_0−nd+(u+d)X$

だから、 $g(X)$ を元の $X$ について解いた関数（逆関数）は、

$g^{−1}(Y)=X=\genfrac{}{}{}{0}{Y-S_0+nd}{u+d}$

となり、 $Y$ で微分すると

$\genfrac{}{}{}{0}{d}{dY}g^{-1}(Y)=\genfrac{}{}{}{0}{1}{u+d}$

だから、求める確率密度関数は（ $Y$ の関数なので改めて $f(Y)$ と書くと）、

$f(Y)=\genfrac{}{}{}{0}{1}{\sqrt{2\pi npq}}\genfrac{}{}{}{0}{1}{u+d}\exp\left[-\genfrac{}{}{}{0}{\left(\genfrac{}{}{}{0}{Y-S_0+nd}{u+d}-np\right)^2}{2npq}\right]$

となる。これを変形すると、

$f(Y)=\genfrac{}{}{}{0}{1}{\sqrt{2\pi npq(u+d)^2}}\exp\left[-\genfrac{}{}{}{0}{\left\{Y-S_0-n(pu-qd)\right\}^2}{2npq(u+d)^2}\right]$

となり、正規分布の密度関数の式と比較するとこれは、平均 $S_0+n(pu-qd)$ 、
分散 $npq(u+d)^2$ の正規分布

$N(S_0+n(pu-qd), npq(u+d)^2)$

になっていることがわかる。
「最初 $S_0$ 円の株価が、 1 期間で確率 $p$ で $u$ 円上がり、確率 $q=1-p$ で $d$ 円下がる」場合の $n$ 期間後の株価 $S$ は上記のように正規分布することがわかった。

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