株価の二項モデルと最適投資方法

１－３．実際の株価への適用

ここまでで、株価の広がりが時間とともにどう変化していくかの分布は求められたが、これは株価を「 1 期間で $u$ 円上がるか $d$ 円下がる」というモデル化を行って求めたものである。
実際の株価はそのような値動きはしない。 1 日の変動幅は日によって異なるし、 1 時間、1分の間にも株価は変化する。実際の株価にこのモデルを適用する方法を検討してみる。
「最初 $S_0$ 円の株価が、1 期間で確率 $p$ で $u$ 円上がり、確率 $q=1-p$ で $d$ 円下がる」場合の $n$ 期間後の株価は正規分布

$N(S_0+n(pu-qd), npq(u+d)^2)$

に従う。この分布を決定するためには、 $S_0$ と $n$ は自明として、 $p,q,u,d$ を求めなければならないが、実際の株価の動きからこれを正確に決定することは困難、ほぼ無理だし、株価変動の本質としてこれらの値は常時一定でもないであろう。そこで「わからないものは五分五分」という消極的な根拠ではあるが、株価が上がるか下がるかは確率1/2、上がるときも下がるときも変動額は同じ、という仮定

$p=q=\genfrac{}{}{}{0}{1}{2}, u=d$

を置く。これらを代入すると、株価が従う正規分布は、

$N(S_0,nd^2)$

と非常に簡単になる（変動額は $u$ と書いても $d$ と書いてもよいが、 $d$ とした) 、 $d$ を求めれば分布が決まる。実際の株価に対してこの分布を求めることを考える。
$n$ の単位を「日」とする。現実の株価の日々の終値に対して、 $n$ 日前の終値との差額

今日の終値 − $n$ 日前の終値

の分布は、 $S_0=0$ に相当するから

$N(0,nd^2)$

になるはずである。すなわち、毎日の「今日の終値 − $n$ 日前の終値」はプラスのこともマイナスのこともあり、値もバラバラになるが、その分散の値を $nd^2$ と考えることができる。日々の株価ついて「その日の終値− $n$ 日前の終値」の分散を計算してそれを $V$ とすると、

$V=nd^2$

$d=\sqrt{\genfrac{}{}{}{0}{V}{n}}$

から、 $d$ を求めることができる。

下の表は、ある小型株の2019年１年分の日足株価について、１日前－20日前との価格差を一覧にしたものである。

それぞれの「X日前との価格差」について、分散 $V$ と $d=\sqrt{V/n}$ を計算すると次のようになる。

計算の結果求められた $d$ の値は 52前後で（平均は52.5）、 $n$ によらずにほぼ同じ値となっている。

$d$ の値が求められたので、株価の分布を確定することができる。 $n$ を1か月（約 20 営業日）とすれば、株価の差は

$N(0,nd^2)=N(0,20×52.5^2)$

に従うと考えられる。標準偏差 $\sigma$ は $\sqrt{20×52.5^2}$ =約234 円となるから、正規分布の性質から、株価が現在よりも $\pm468$ 円（ $2\sigma$ )の範囲に収まっている確率が 95%になる。

なお、𝑑を求めるのに単純に 1 日前との差の絶対値を平均するようなことをしても正しい値は得られない。この例では、「 1 日前との差」の絶対値の平均は 36.55 となり、分散から求めた値よりもかなり小さくなる。

下のグラフは、この株の $n=1, 5, 10, 15, 20$ 日前との株価の差の実測値の度数分布（ヒストグラム）と、それぞれを近似する正規分布である。度数分布は区間を－1000 円から＋1000 円まで 100 円ごとに区切って集計している。両者はよく似た形になっていることがわかる。

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