１－２．株価の分布の正規近似 - ３ - 株価の二項モデルと最適投資方法

結果の考察

この結果をもう少し考察してみる。

分布の平均は $S_0+n(pu−qd)$ である。 $pu−qd$ は “確率×値”の和（株価が下がる場合はマイナスと考える）の形になっていて、これは1期間後の増減の期待値だから、 $n$ 期間後の平均（期待値）は、それを $n$ 倍したものになっている。
$pu−qd$ がゼロより大きければ期待値はプラスである。上がるか下がるか五分五分（ $p=q=1/2$ ）のとき、 $u$ が $d$ より大きければ儲かるのは当然だが、 $p$ が 1/2 より小さくても上昇額 $u$ が大きければ期待値としては儲かる。期待値がプラスとなる条件 $pu−qd\gt0$ に $q=1−p$ を代入して変形すると、
$p\gt\genfrac{}{}{}{0}{d}{u+d}$ となる。たとえば $u$ を 30 円、 $d$ を 10 円とすると、 $p\gt1/4$ すなわち 4 回に 1 回以上勝てれば、期待値はプラスである。
元の二項分布の標準偏差は $\sqrt{𝑛𝑝𝑞}$ だから、分布の標準偏差 $\sigma=\sqrt{npq(u+d)}$ はそれに $(u+d$ )をかけたものになる。
$p$ , $q$ , $u$ , $d$ を定数とすると、分布の標準偏差 $\sigma=\sqrt{npq(u+d)}$ は $\sqrt{n}$ に比例する。すなわち、期間が2倍になれば、分布の広がりは $\sqrt{2}=$ 約 1.4 倍、 4 倍になれば 2 倍になる。

元の1000 円の株の問題に戻って考察する。
上記の結果から、1000 円の株が 1 日後に 1/2 の確率で 10 円上がるか 10 円下がるか、の場合、 5 日後（ $n=5$ ）の株価は、 $S_0=1000$ 、 $p=1/2$ 、 $u=d=10$ だから、正規分布 $N(1000,500)$ に従う。

最初に考えた株価 $S$ の離散分布と、それを近似する正規分布 $N(1000,500)$ をグラフに書くと下記のようになる。

正規分布の確率は横軸の区間を積分して得られるので、二項分布のときは幅 1 だった区間 $i$ の間隔）がこの分布では幅 $20(=𝑢+𝑑)$ に広がっている分、正規分布のグラフは背が低くなる。離散分布の方は横軸のとびとびの値に対してしか意味を持たず、各確率は二項分布と同じである。両分布一見大きく違うように見えるが、累積分布を比較するとほぼ一致する。下のグラフは、 $S$ の離散分布の累積密度関数と、正規分布の累積密度関数を同じグラフに書いたものである。ただし、正規分布は 𝑥+10まで（𝑥=1000のときは $x=−∞$ から 1010 まで）積分した値としている。

下のグラフは、同じ株価の分布が、5日後から10、15、20日後まで、どのように広がっていくかを示したものである。日数が経つとともに分布は広がるが、分布の標準偏差は $\sqrt{𝑛}$ に比例するため、広がり度合いは最初大きく、だんだん鈍くなっていく。 𝑛=5,10,15,20日に対する標準偏差 𝜎は、22円、32円、39円、45円である。正規分布なので、株価が平均 $\pm2\sigma$ の中にある確率は 95% である。当初 1000 円の株価が、 20 日後（営業日として約1か月後）には、910 円と 1090 円の間にある確率が 95% になる。

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