１－４．異なる株のスケールを合わせる - 株価の二項モデルと最適投資方法

ここまで、一種類の株価の変動を考えてきたが、実際の投資ではリスクを減らすために複数銘柄に分散投資するのがよいとされる。

$S_0$ と $d$ の異なる複数の株を所有するとき、それぞれの株資産の分散を同じにするためには、何株ずつ持てばよいか、という問題を考える。

$p=q=1/2$ , $u=d$ という仮定は引き続き行い、初期値 $S_1,S_2,...,S_k$ 、 1日の変化量 $d_1,d_2,...,d_k$ の $k$ 種類の株があるとすると、各株資産を1株持った場合の $n$ 日後の株価はそれぞれ正規分布、

$N(S_i,nd_i^2)$

に従う。ここで、正規分布には次の性質がある。

確率変数 $X$ が正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ に従うとき、それを $a$ 倍した $aX$ は正規分布 $N(a\mu,a^2\sigma^2)$ に従う。

すなわち、株を $𝑎$ 倍持てば、 $n$ 日後の平均は $𝑎$ 倍、分散は $𝑎^2$ 倍（標準偏差は $𝑎$ 倍）になる。 $𝑖$ 番目の株を $a_𝑖$ 株持ったとすると、 $𝑛$ 日後の分布はそれぞれ、

$𝑁(𝑎_𝑖𝑆_𝑖, 𝑎_𝑖^2𝑛𝑑_𝑖^2)$

となる。各資産の分散は $𝑎_𝑖^2𝑛𝑑_𝑖^2$ である。これを同じ値（ $𝜎_𝑐^2$ とする）に合わせるためには

$𝑎_𝑖=\genfrac{}{}{}{0}{𝜎_𝑐}{𝑑_𝑖\sqrt{𝑛}}$

であればよい。すなわち、各 $𝑑_𝑖$ に反比例した量の株を買えばよいことがわかる。 $𝑑$ が 2倍なら $𝑎$ は半分である。 1日の動きが 2倍の株は半分持てばよい、というのは直感的にも理解できる。

では、実践的な問題として、最初に総資産 $𝑊$ があり、これで $𝑘$ 種類の株を買う場合、それぞれの株を何株買ったら、各株の資産変動に対する影響が同じになるか、を考える。初期総資産は $𝑊$ だから、

$𝑎_1𝑆_1+𝑎_2𝑆_2+⋯+𝑎_𝑘𝑆_𝑘=𝑊$

この式に上記𝑎_𝑖の値を代入して変形すると、

$\genfrac{}{}{}{0}{𝜎_𝑐𝑆_1}{𝑑_1\sqrt{𝑛}}+\genfrac{}{}{}{0}{𝜎_𝑐𝑆_2}{𝑑_2\sqrt{𝑛}}+⋯+\genfrac{}{}{}{0}{𝜎_𝑐𝑆_𝑘}{𝑑_𝑘\sqrt{𝑛}}=𝑊$

$\genfrac{}{}{}{0}{𝜎_𝑐}{\sqrt{𝑛}}\left(\genfrac{}{}{}{0}{𝑆_1}{𝑑_1}+\genfrac{}{}{}{0}{𝑆_2}{𝑑_2}+⋯+\genfrac{}{}{}{0}{𝑆_𝑘}{𝑑_𝑘}\right)=𝑊$

$\genfrac{}{}{}{0}{𝜎_𝑐}{\sqrt{𝑛}}=\genfrac{}{}{}{0}{𝑊}{\genfrac{}{}{}{0}{𝑆_1}{𝑑_1}+\genfrac{}{}{}{0}{𝑆_2}{𝑑_2}+⋯+\genfrac{}{}{}{0}{𝑆_𝑘}{𝑑_𝑘}}$

$𝑎_𝑖=𝜎_𝑐/(𝑑_𝑖\sqrt{𝑛})$ だから、

$𝑎_𝑖=\genfrac{}{}{}{0}{𝑊}{𝑑_𝑖\left(\genfrac{}{}{}{0}{𝑆_1}{𝑑_1}+\genfrac{}{}{}{0}{𝑆_2}{𝑑_2}+⋯+\genfrac{}{}{}{0}{𝑆_𝑘}{𝑑_𝑘}\right)}$

となり、各 $𝑎_𝑖$ の値が $𝑊$ と各 $𝑑_𝑖$ , $𝑆_𝑖$ から求められた。

仮に、先述の実際の株で、 $𝑆_1=3390$ (2019/12/ 30 の終値）、 $𝑑_1=52.5$ (1-20日前との株価の差から求めた $𝑑$ の平均）とし、別に「１日後に1/2の確率で10円上がるか10円下がる1000円の株」があったとする（ $𝑆_2=1000$ 、 $𝑑_2=10$ ）。初期資産100万円があったとして、株価変動に与える両者の寄与が同じになるように割り振るには、1番目の株を