１－１．株価の二項モデル - 株価の二項モデルと最適投資方法

ここからしばらくは、株価の値動きは毎日一定額上がるか下がるかのどちらかで、上がるか下がるかの確率は毎回同じとして考える。このようなモデルを二項モデルという。

株価の値動きが１日後に確率1/2で同じ額だけ上がるか下がるか、だとすると、値動きはコイン投げと同じように考えることができる。

1000円の株が１日後に1/2の確率で10円上がるか10円下がるとき、 $n$ 日経過した後の株価 $S$ は、 $n$ 日のうち上がった日数を $i$ 日とすると、下がった日は $(n-i)$ 日だから、

$S=1000+10i-10(n-i)$

となる。これは、「最初1000円持っていて、コインを投げて表が出たら10円もらい、裏が出たら10円払う、というゲームを $n$ 回続けて行い、勝った回数が $i$ 回だった場合の所持金」と同じである。

コイン投げの結果は二項分布する。

表が出る確率が $P$ 、裏が出る確率が $1-P$ であるコインを $n$ 回投げた時、表が $i$ 回出る確率 $p_i$ は、二項分布 $B(n,P)$ に従い、

$p_i=_nC_iP^{i}(1-P)^{(n-i)}$

である。コインが偏りのないもので、 $P=1/2$ であれば、表が $i$ 回出る確率 $p_i$ は、

$p_i=_nC_i(\frac{1}{2})^n$

となる。コイン投げの二項分布の場合、確率変数は「表が出る回数」 $i$ であり、例えば $P=1/2$ で $n=5$ の場合、 $p_i$ は下の表のようになる。

$i$	0	1	2	3	4	5
$p_i$	0.03125	0.15625	0.3125	0.3125	0.15625	0.03125

これに対して今考えている株価の分布は、確率変数が株価 $S$ であり、取りうる値が950円（5回連続負け）から1050円（5連勝）までの20円刻みの値になる。表に書くと下記のようになる。

$S$	950	970	990	1010	1030	1050
$p_i$	0.03125	0.15625	0.3125	0.3125	0.15625	0.03125

これが求める株価の確率分布である。確率変数の値が整数0,1,2,…ではないのでもはや二項分布とは言えないが、各 $p_i$ は二項分布と同じ確率である。この分布は離散分布であり、確率はとびとびの $S$ についてしか意味を持たない。

このように、 $S$ と二項確率の関係を使って50日後、100日後の株価と確率を求めて利用することもできるが、扱いやすくするため、この分布を連続分布化（正規分布で近似）することを考える。